Cajas de problemas | El juego de la ciencia

En el problema de la semana pasada de las tres esferas en una caja, la única dificultad es calcular una de las dimensiones de la base, ya que la otra es obviamente el doble del diámetro de las esferas y la altura es ese diámetro (10 cm). Y además, la dimensión faltante no es difícil de encontrar si nos damos cuenta de que es igual a la altura del triángulo equilátero determinada por los centros de las esferas más el doble de su radio, es decir 10 + 5√3 = 18,66 cm.

Desde la primera vez que propuse el problema hace dos semanas no venía acompañado del dibujo correspondiente, un lector se dio cuenta de que la caja era cúbica, y la confusión lo llevó a descubrir otro problema interesante: poner tres esferas iguales de radio máximo en un cubo lateral 1. El radio de las esferas no es difícil de calcular (¿cuánto mide?); pero lo más curioso de este paquete es que, como se puede ver en la figura, en la caja cúbica cabe una cuarta esfera del mismo tamaño.

Otros problemas de empaque y empaque se mencionaron en la sección de comentarios la semana pasada y uno de ellos (ver comentario 22) me sugirió la siguiente variante:

Un mensajero opera exclusivamente con cajas ortoédricas, ninguna de las cuales en tres dimensiones (largo, ancho y alto) puede superar el metro. ¿Es posible enviar una caja rígida de 20 x 90 x 120 cm a través de esta empresa?

Y hablando de variantes, aquí tienes un clásico relacionado con la caja con dos cerraduras de hace un par de semanas:

Tres socios comparten una caja fuerte con varias cerraduras. Ninguno de los dos puede abrir la caja solo, pero dos socios pueden abrirla sin el tercero. ¿Cuántos candados hay en la caja y qué llaves tiene cada socio?

¿Y si hay cuatro socios? Como en el caso anterior, para abrir la caja debe haber mayoría: cualquier grupo de tres socios puede abrirla, pero ningún grupo de dos puede.

Es interesante generalizar el problema para n socios siempre que cualquier subconjunto de la mayoría de ellos pueda abrir la caja, pero ninguna no mayoría puede hacerlo.

cofres lógicos

Para terminar (por ahora) con los problemas con la caja, uno de los maestros Raymond Smullyan inspirado en El mercader de Venecia de Shakespeare:

Portia tiene tres cofres, uno de oro, uno de plata y una de plomo, y dentro de un cofre está su retrato. Junto a cada cofre hay un letrero: en el peto dorado dice «El retrato está aquí», en el cofre plateado dice «El retrato no está» y en el cofre de plomo dice «El retrato no está allí». «. en el cofre de oro. Sabiendo que como mucho uno de los tres carteles dice la verdad, ¿en qué cuadro está el retrato de Portia?

Y una variante un poco más complicada:

En la insignia de la caja de oro dice «El retrato no está en la caja de plata», en la insignia de la caja de plata dice «El retrato no está allí» y en la insignia de la caja dice «El retrato está aquí». . ”Sabiendo que al menos una de estas tres afirmaciones es verdadera y al menos una es falsa, ¿en qué cuadro está el retrato de Portia?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 trabajos de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran «Physical Damn», «Damn Math» o «The Big Game». Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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