¿Cuántos números reales hay? | Café y teoremas

Aunque pueda parecer extraño, existen diferentes dimensiones del infinito. De hecho, existe una larga jerarquía de infinitos, cada uno mayor que el otro. El infinito más pequeño se llama alef_0 y es la dimensión —o cardenal– de la colección de todos los números naturales: 0, 1, 2,…. La siguiente dimensión del infinito se llama alef_1, la siguiente alef_2, luego viene alef_3 … y así sucesivamente. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor demostró que el cardinal del conjunto de números reales, que son todos los que aparecen en la línea real, es estrictamente mayor que alef_0. ¿Pero exactamente cuántos números reales hay? Alef_1, alef_2, alef_3,….?

Cantor eligió la respuesta más simple y asumió que la respuesta es alef_1, que es la siguiente dimensión infinita más poco después de la de los números naturales. Esta afirmación se conoce como la «hipótesis del continuo» (HC) y, hasta su muerte en 1918, Cantor estaba obsesionado con probarla. En 1900, David Hilbert también incluyó este problema como el primero en su famosa lista de problemas para el nuevo siglo. Se necesitaron varias décadas para obtener el primer resultado significativo.

El área de las matemáticas que estudia estas cuestiones es la teoría de conjuntos, inventada – o descubierta – por Cantor a finales del siglo XIX y, poco después, formalizada a través de la teoría axiomática denominada ZFC; Z para Ernst Zermelo, F para Abraham Fraenkel y C para el axioma de elección (axioma de elección, en inglés). Durante un siglo, la teoría ZFC ha proporcionado una base sólida y simple (los únicos ingredientes son conjuntos y sus elementos, que también son conjuntos) para la construcción de las matemáticas.

No solo podemos probar la existencia de las diferentes cantidades de infinito y compararlas, sino también que, dado cualquier conjunto X, su cardinal siempre existe, representado por la expresión | X |

Trabajando sobre esta teoría es posible modelar o construir la mayoría de los objetos que pueblan las matemáticas y también probar la mayoría de los teoremas que aparecen en las diferentes áreas de esta disciplina. En particular, no solo podemos probar la existencia de las diferentes cantidades de infinito y compararlas, sino también que, dado cualquier conjunto X, su cardinal siempre existe, representado por la expresión | X |.

En 1938, Kurt Gödel demostró que si la teoría ZFC es consistente, es decir, si no es posible llegar a una contradicción a partir de los axiomas ZFC, entonces la teoría obtenida al agregar HC como axioma a ZFC también es consistente. Este resultado parece sugerir que, si se probara la consistencia de la teoría ZFC, entonces sabríamos que la hipótesis del continuo es verdadera, pero no lo es. Lo que realmente dice es que, si la teoría CFZ es consistente, entonces no es posible probar la hipótesis de continuidad falsa con ella.

Por otro lado, en 1963 Paul Cohen demostró que si la teoría ZFC es consistente, también lo son otras teorías en las que el cardinal del continuo (indicado por | R |) toma valores distintos de alef_1. Para lograr esto, por lo que recibió la Medalla Fields en 1966, Cohen inventó el método de para forzar. Esta es una técnica muy general por la cual, desde un universo, metro, en el que se satisface la teoría ZFC – cuya existencia equivale a probar la consistencia de ZFC -, es posible construir el universo mínimo metro[g] que también satisface la teoría ZFC y contiene todos los objetos de metroasí como un artículo nuevo GRAMO..

Para dar una idea de cómo funciona este método, supongamos el elemento al que queremos agregar metro es una secuencia infinita formada por ceros y unos. Esta secuencia debe ser diferente a todas las que contiene METRO. En particular, esta secuencia evitará cualquier modelo de regularidad que pueda definirse en metro. Por ejemplo, el llamado La realeza de Cohen en M son secuencias de este tipo.

A pesar de proporcionar la base estándar para las matemáticas, la teoría ZFC es demasiado débil para determinar exactamente cuántos reales existen. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático?

Los verdaderos de Cohen en metro se definen utilizando el concepto de un conjunto denso de secuencias. Si tenemos un conjunto D. de sucesiones finitas, decimos que D es denso si cualquier secuencia finita de ceros y unos puede extenderse a una más larga que está en D.. Por ejemplo, el conjunto de secuencias distintas de cero en una posición es denso, ya que cualquier secuencia puede extenderse a una de este tipo, simplemente agregando una a su posición final. Bueno, un verdadero Cohen en metro es una sucesión C. que satisface cualquier conjunto denso en metro contiene un segmento inicial de C.. Se puede demostrar que ningún real de Cohen en metro perteneciendo a metro y que, además, existe el modelo mínimo metro[c] que cumple con ZFC.

Siguiendo este método, es posible agregar, no uno, sino muchos reales de Cohen, y dibujar un universo ZFC en el que | R | = alef_2, o | R | = alef_3, alef_4 … se verifican, por lo tanto, si ZFC es una teoría coherente, también lo serán las teorías en las que el enunciado que | R | = alef_2, | R | = alef_3 o | R | = alef_4 … se agrega a ZFC, y en todos los HC es falso. Así, al combinar este teorema con el de Gödel, sabemos que si la teoría ZFC es consistente, no nos permite probar que la hipótesis del continuo sea verdadera o falsa.

Por lo tanto, a pesar de proporcionar la base estándar para las matemáticas, la teoría ZFC es demasiado débil para determinar exactamente cuántos reales hay. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático? Como veremos en un artículo futuro, este no es necesariamente el caso.

David Asperó es ‘profesor asociado’ en Universidad de East Anglia (REINO UNIDO).

Redacción y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y el entorno en el que nace, coordinada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que investigadores y miembros del centro describen los últimos avances en esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones social y cultural y recordemos a quienes han marcado su desarrollo y han sabido transformar el café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: «Un matemático es una máquina que transforma el café en teoremas».

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